Що таке натуральне число в математиці?

Всі діти з ранніх років вивчають математику. Спочатку вона дозволяє дізнатися прості речі, легко застосовувати в житті, але з плином часу завдання постійно ускладнюються. З’являється і нова термінологія, за якою не завжди можна зрозуміти, що мається на увазі. Наприклад, що таке натуральне число в математиці?

що таке натуральне число в математиці

У давні часи люди не користувалися цифрами так, як роблять це зараз, проте все одно був їм необхідний. Предмети порівнювались за кількістю з чимось, наприклад, хтось мав стільки ягід, скільки пальців на одній руці. Поступово люди винайшли систему рахунку, а з нею з’явилися й нові терміни.

Що таке натуральне число в математиці?

Це поняття відноситься до одних з найбільш старих, так як воно народилося з-за давньої необхідності навчитися рахувати кількість звичайних предметів. Що означає натуральне число? Найчастіше дається таке визначення – це числа, які виникають при підрахунку, причому подібне відбувається природним чином.

Звідси береться і друга назва цього терміна – натуральні числа. Своєю послідовністю, расположенностью за зростанням, вони утворюють натуральний ряд. Інакше кажучи, всі цифри, починаючи з одиниці, які використовуються для підрахунку предметів, є натуральними.

Таким чином, існує найменше натуральне число – їм є одиниця. Найбільшого ж не буває, так як до будь-якої цифри можна додати ще один. Нуль не входить в натуральний ряд, так як з його допомогою не можна нічого порахувати, хоча далеко не всі вчені згодні з цим.

стародавня математика

Визначення натуральних чисел

Подібні цифри визначаються двома головними методами. Перший з них передбачає перерахування всього наявного, а другий називає підсумкове кількість.

  • Перший метод визначення є підрахунком або нумерацією наявних предметів. Наприклад, бачачи перед собою кілька яблук, людина може порахувати їх – одне, два, три…
  • Другий метод визначення називає підсумкове кількість наявних предметів. Таким чином, якщо яблук немає зовсім, то можна сказати, що предметів немає. Це означає, що при підрахунку з’являється нуль.

У цій цифрі і полягає основна різниця між двома цими методами визначення. У першому випадку мінімальним числом є одиниця, а в другому можливо і використання нуля. Математики так і не змогли прийти до одностайного рішення про те, який метод краще, і чи варто ставити нуль в один ряд з іншими натуральними числами.

Як правило, застосовується все ж перший варіант, залишає спірну цифру в стороні. Тим не менш, в деяких працях, начебто Бурбак, використовується інший підхід. Крім цього, нуль є невід’ємною і широко застосовуваною частиною в світі програмування.

природні числа

Особливості натуральних чисел

Головне, про що потрібно пам’ятати при згадці таких чисел, так це про їх обов’язок бути природними. Вони повинні бути такими, щоб з їх допомогою було можливо підрахувати кількість якихось предметів. Природні числа повинні бути доступними і зрозумілими для всіх.

З цієї причини до них не відносяться негативні показники і різні нецілі числа. Наприклад, раціональне, позначається у вигляді дробу, або речові, що представляє собою математичний об’єкт, не зможуть стати частиною натурального ряду.

Що таке натуральне число в математиці? Всі ці цифри прийнято позначати літерою N. Її обрали тому, що латинською мовою слово природний пишеться як naturalis, тобто починається з літери N. Число, що мається на увазі під цим позначенням, нескінченно.

Нерідко для доказу складних теорем корисно пам’ятати і про нулі. Він входить у розширений натуральний ряд, який позначають за допомогою відповідної цифри, приписаної знизу до букви N. Іноді замість неї застосовуєте Z, знову з тим же маленьким нулем поруч.

цифри

Операції з натуральними числами

У математиці існує поняття замикання. Воно означає мінімально можливе розширення якогось множини, операції з якими не виходять за його межі. Щодо натуральних чисел виділяється кілька таких замкнутих операцій.

  • В першу чергу, це додавання. Природні числа легко можна скласти один з одним, щоб отримати якусь суму.
  • Можливо і множення. Два натуральних множника дадуть твір.
  • Нарешті, використовується зведення в ступінь. Воно складається з основи і показника. У тому випадку, якщо обидві частини репрезентовані натуральними числами, то і результат буде таким же.

Іноді в даному питанні розглядаються ще дві операції. Їх проблема полягає в тому, що вони застосовуються не для всіх випадків. Іноді подібне може існувати, а іноді ні. До цих операцій належать:

  • Віднімання. Воно дасть натуральне число тільки в тому випадку, якщо перша цифра буде більше другий. Інакше можливе одержання негативного числа, що не відноситься до натуральним, або ж нуля, який є спірним;
  • Те ж саме відноситься і до поділу. У найпростіших прикладах всі числа в підсумку будуть природними, проте існує безліч ситуацій, в результаті яких вийдуть нецілі.

Як правило, наука зосереджується на перших двох операціях – додаванні і відніманні. Цікаво, що саме вони сприяють створенню кільця цілих чисел – це відбувається через бінарні додавання і множення.

Що варто знати про натуральних числах?

Цифри, що використовуються для рахунку, не завжди були такими, як ми їх знаємо сьогодні. Спочатку застосовувалося щодо схематичне зображення, що поступово сформоване у римські цифри.

Сучасний же варіант зародився в Індії, приблизно півтори тисячі років тому. Згодом вони були привезені в європейські країни арабами, за що і отримали свою відома назва – арабські цифри. Незважаючи на те, що натуральних чисел може бути будь-яка кількість, цифр всього десять – від нуля і до дев’ятки.

Якщо розглядати натуральний ряд, то в ньому кожне число буде відрізнятися від попереднього або наступного на одиницю, при тому, що сам ряд нескінченний. Однак, в процесі рахунку з’являється так звана десяткова позиційна.

Під цим словом мається на увазі той факт, що коли числа доходять до десяти, вони утворюють нову одиницю старшого розряду. Ці розряди бувають самими різними – зокрема, до них відносяться мільйони і мільярди. Залежно від їх кількості, розряди об’єднують за класами.

Наприклад, мільярди можуть обчислюватися десятками або сотнями. Це будуть розряди, але всі вони в цілому утворюють клас мільярдів. Те ж саме відбувається і з розрядами мільйонів, тисяч, сотень, десяток і одиниць.

розряди